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Affiche du document Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction

Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction

Jean Zinn-Justin

3h45min45

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
301 pages. Temps de lecture estimé 3h46min.
Cet ouvrage démontre l'intérêt et la familiarité de l'intégrale de chemin du point de vue de la physique, qui offre un regard alternatif sur la mécanique quantique. Ce livre résulte d'un cours de « mécanique quantique avancé ». Il est tiré de l'ouvrage original de l'auteur Quantum Field and Critical Phenomena (Oxford University Press). 
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Théorie statistique des champs

David François

4h25min30

  • Sciences formelles
354 pages. Temps de lecture estimé 4h25min.
Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie grâce au prix Nobel de physique Kenneth Wilson, ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950. Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique.Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 « Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs. La théorie statistique des champs repose sur la profonde analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique en dimension d’espace D et les fluctuations thermiques d’un système classique en équilibre à une température absolue T dans un espace de dimension (D + 1), la constante de Planck h jouant le rôle de la température T. Ce premier tome développe l’aspect « quantique » de la théorie. La première partie du livre est consacrée à l’intégrale de chemin, qui permet de mettre en évidence d’une façon particulièrement claire cette correspondance entre les deux types de fluctuations, sans négliger des aspects avancés (bosons et fermions, états cohérents, spin). Dans une deuxième partie, l’auteur utilise l’exemple typique de la théorie en φ4 pour un exposé détaillé de l’intégrale fonctionnelle, du développement perturbatif, des graphes de Feynman, de la renormalisation perturbative et du groupe de renormalisation en théorie des champs. Le deuxième tome sera consacré aux applications du groupe de renormalisation à la physique statistique, en particulier le calcul des exposants critiques. Seront aussi abordés des sujets reliés : modèle XY, polymères, chaînes de spin, mouillage et membranes, ainsi qu’une introduction à l’invariance conforme et à l’invariance d’échelle en taille finie.
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Quantique : au-delà de l'étrange

Ball Philip

3h37min30

  • Sciences formelles
290 pages. Temps de lecture estimé 3h37min.
La mécanique quantique a la réputation d’une théorie difficile d’accès et qui plus est « étrange » : « Personne ne comprend la mécanique quantique » écrivait en 1965 le prix Nobel de physique Richard Feynman.Les travaux de John Bell, les expériences menées à la fin du siècle dernier et au début de ce siècle, ainsi que les développements de l’information et de l’ordinateur quantiques, ont permis de mieux cerner le caractère étrange du monde quantique. Nous avons compris que la mécanique quantique pourrait être davantage une théorie de l’information qu’une théorie traitant d’ondes et de particules microscopiques.En évitant de tomber dans le piège d’analogies souvent trompeuses, Philip Ball expose les principes de base de la théorie quantique et en décrit les principales interprétations : Copenhague, multimondes, etc. Il montre ce que la théorie quantique nous révèle du fonctionnement intime de la nature. Nous sommes induits en erreur par notre expérience quotidienne et l’étrangeté réside dans notre compréhension, pas dans la nature elle-même.Ce livre, accessible à un large public, séduira le lecteur désireux de comprendre en profondeur la science contemporaine et d’accéder à ses développements les plus récents. « Intense, profond et extrêmement bien documenté, ce livre est celui que l’on doit lire si l’on veut acquérir une vision contemporaine et globale du monde quantique tel que nous le connaissons aujourd’hui », écrit la revue de la Société de physique britannique Physics World, qui lui a décerné son prix du livre de vulgarisation scientifique parmi une quarantaine de titres parus au cours de l’année 2018.
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Symétries continues

Franck Laloë

5h38min15

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
451 pages. Temps de lecture estimé 5h38min.
Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.I Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 291 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32***********II Notions sur la théorie des groupes 37A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 571 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58***********III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 971 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 972 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L  . . . . . 993 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1014 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102***********IV Représentations induites dans l’espace des états 105A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1271 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1331 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137***********V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 1711 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173BV Groupe des déplacements géométriques 1771 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 1782 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190CV Groupe de Lorentz propre 2011 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2073 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211DV Réflexions d’espace (parité) 2131 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2153 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217***********VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234AVI Lagrangiens des équations d’onde 2451 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249***********VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 2971 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 2972 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 2993 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3015 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303***********VIII Transformation des observables par rotation 305A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 3551 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3594 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 3616 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3627 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 3671 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 3672 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369CVIII Les moments multipolaires 3731 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 3742 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 3873 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393***********IX Groupes SU(2) et SU(3) 399A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 4491 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 4492 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 4513 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 4551 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4552 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459***********X Brisures de symétrie 461A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469APPENDICE 477I Le renversement du temps 4771 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 4782 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 4833 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 4914 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 4985 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
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Relativité restreinte

Eric GOURGOULHON

9h21min45

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
749 pages. Temps de lecture estimé 9h22min.
La théorie quantique des champs, la physique des particules, l'astrophysique des hautes énergies, etc. sont autant de domaines de la physique moderne qui s'appuient sur la relativité restreinte. Celle-ci est ici présentée en adoptant directement un point de vue quadridimensionnel, c'est-à-dire en passant par l'espace-temps de Minkowski. Ce livre scientifique a ceci de particulier qu'il ne se limite pas aux référentiels inertiels et considère des observateurs accélérés ou en rotation. Cela permet de discuter simplement et de manière rigoureuse d'effets physiques tels que la précession de Thomas ou l'effet Sagnac. Les derniers chapitres abordent des aspects plus avancés : champs tensoriels, calcul extérieur, hydrodynamique relativiste et traitement de la gravitation. Illustré et agrémenté de nombreuses notes historiques, cet ouvrage fait une part belle aux applications, de la physique des particules (accélérateurs, collisions de particules, plasma quark-gluon) à l'astrophysique (jets relativistes, noyaux actifs de galaxie), en passant par les applications pratiques (gyromètres à effet Sagnac, rayonnement synchrotron, GPS). Le livre contient également des développements mathématiques tels que l'analyse détaillée du groupe de Lorentz et de son algèbre de Lie. Ce livre scientifique s'adresse aux étudiants en dernière année de licence de physique (L3) ou en master (M1 et M2), ainsi qu'aux chercheurs et à toute personne intéressée par la relativité. Sa lecture facilitera également l'apprentissage de la relativité générale, en raison de l'approche géométrique adoptée.
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Si Einstein avait su

Alain ASPECT

2h48min00

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
224 pages. Temps de lecture estimé 2h48min.
Alain Aspect a voulu écrire ce livre pour nous faire partager sa fascination pour le débat entre deux géants de la physique, Niels Bohr et Albert Einstein, portant sur l’interprétation de la mécanique quantique. Presque un demi-siècle après ses propres expériences, Alain Aspect a reçu le prix Nobel de physique pour avoir montré que l’on doit renoncer à la vision du monde quantique défendue par Einstein. Alain Aspect replace le débat dans l’incroyable histoire de la physique quantique. Ne cachant pas son admiration pour Einstein, il nous montre comment la controverse quasi philosophique que celui-ci a engagée avec Niels Bohr a conduit à des expériences bien réelles et à l’invention de nouvelles technologies quantiques. Tout en faisant le récit de son parcours, Alain Aspect nous explique avec passion et clarté comment il a mis en évidence l’une des propriétés les plus extraordinaires de l’intrication quantique, et il tente d’imaginer la réaction d’Einstein à ses résultats expérimentaux. Un livre majeur. Alain Aspect a reçu le prix Nobel de physique 2022 « pour les expériences avec des photons intriqués établissant les violations des inégalités de Bell et ouvrant une voie pionnière vers l’informatique quantique ». Il est professeur à l’Institut d’Optique-université Paris-Saclay, professeur à l’École polytechnique et directeur de recherche émérite au CNRS. 
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Des phénomènes critiques aux champs de jauge

Michel Le Bellac

8h00min45

  • Sciences formelles
641 pages. Temps de lecture estimé 8h1min.
Les applications à la physique statistique et à la physique quantique : les méthodes et concepts fondamentaux et des applications à la physique des phénomènes critiques et à celle des particules élémentaires.  
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Affiche du document Symétries continues

Symétries continues

Franck Laloë

6h39min45

  • Sciences formelles
533 pages. Temps de lecture estimé 6h40min.
Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.I Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 291 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32***********II Notions sur la théorie des groupes 37A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 571 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58***********III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 971 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 972 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L  . . . . . 993 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1014 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102***********IV Représentations induites dans l’espace des états 105A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1271 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1282 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1331 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137***********V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 1711 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173BV Groupe des déplacements géométriques 1771 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 1782 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190CV Groupe de Lorentz propre 2011 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2073 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211DV Réflexions d’espace (parité) 2131 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2132 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2153 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217***********VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234AVI Lagrangiens des équations d’onde 2451 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2452 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249***********VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 2971 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 2972 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 2993 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3015 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303***********VIII Transformation des observables par rotation 305A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 3551 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3563 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3594 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 3616 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3627 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 3671 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 3672 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369CVIII Les moments multipolaires 3731 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 3742 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 3873 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393***********IX Groupes SU(2) et SU(3) 399A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 4491 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 4492 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 4513 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 4551 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4552 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459***********X Brisures de symétrie 461A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469APPENDICE 477I Le renversement du temps 4771 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 4782 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 4833 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 4914 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 4985 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
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Affiche du document Le Small Bang des nanotechnologies

Le Small Bang des nanotechnologies

Etienne KLEIN

33min00

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
44 pages. Temps de lecture estimé 33min.
Les nanotechnologies recouvrent désormais un spectre très large d’activités fort différentes qui vont de l’électronique dernier cri aux nouvelles biotechnologies en passant par la conception de matériaux dits « intelligents ». Elles bénéficient depuis plusieurs années de crédits massifs et, comme elles concerneront sans doute tous les secteurs industriels, les plus classiques comme les plus high-tech, on les associe même à une véritable « révolution de civilisation » qui pourrait modifier spectaculairement nos façons de vivre, de travailler, de communiquer, de produire, de consommer, de contrôler, de surveiller. Dès lors, elles s’arriment à la question des valeurs, que celles-ci soient morales ou spirituelles, et interrogent l’idée que l’on se fait de la société, de ce qu’elle devrait être ou ne devrait jamais devenir. Une réflexion sur la science et la technique dans la société au plus près des progrès récents. Physicien, spécialiste notamment de la question du temps, auteur du Facteur temps ne sonne jamais deux fois et de Discours sur l’origine de l’Univers, Étienne Klein dirige le Laboratoire de recherche sur les sciences de la matière (LARSIM) du CEA, à Saclay.
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Affiche du document Sept brèves leçons de physique

Sept brèves leçons de physique

Carlo Rovelli

31min30

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
42 pages. Temps de lecture estimé 31min.
Avec les mots de l’écrivain, le talent du poète, Carlo Rovelli nous fait apercevoir le mystère du monde, la beauté du monde, une beauté à couper le souffle. Ces « sept leçons » donnent un aperçu rapide des aspects les plus importants et fascinants de la grande révolution qui a bouleversé la physique au XXe siècle, et surtout des questions et des mystères que cette révolution a soulevés. Elles nous emmènent dans le monde enchanté des grandes idées de la physique actuelle : de la relativité générale d’Einstein à la physique quantique, des particules élémentaires à l’architecture de l’Univers, de la gravité quantique à la nature du temps et de la conscience. Un éblouissement ! Traduit en vingt-quatre langues, les Sept brèves leçons de physique sont un best-seller mondial. Carlo Rovelli, physicien et historien des sciences, membre senior de l’Institut universitaire de France, est l’un des pères, internationalement reconnu, de la « gravité quantique à boucles », théorie qui cherche à comprendre l’intérieur des trous noirs et les tout premiers instants de l’Univers. Il dirige le groupe de recherche en gravité quantique au Centre de physique théorique de Marseille-Luminy. 
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Affiche du document Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction

Intégrale de chemin en mécanique quantique : Introduction

Jean Zinn-Justin

3h58min30

  • Sciences formelles
318 pages. Temps de lecture estimé 3h58min.
Cet ouvrage démontre l'intérêt et la familiarité de l'intégrale de chemin du point de vue de la physique, qui offre un regard alternatif sur la mécanique quantique. Ce livre résulte d'un cours de « mécanique quantique avancé ». Il est tiré de l'ouvrage original de l'auteur Quantum Field and Critical Phenomena (Oxford University Press). 
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Affiche du document Introduction à la microscopie électronique en transmission

Introduction à la microscopie électronique en transmission

Rolly Jacques Gaboriaud

2h53min15

  • Sciences formelles
231 pages. Temps de lecture estimé 2h53min.
Ce livre propose une introduction claire et accessible à la microscopie électronique en transmission (MET). Il s’agit d’une approche basique de cette méthode de caractérisation des matériaux en général et des solides cristallins en particulier, en consacrant une part importante à l’imagerie des dislocations et autres défauts des structures cristallines.L’application de la MET à la physique du solide a connu un essor considérable avec l’avènement de technologies toujours plus novatrices dans l’étude de la matière condensée. Ces performances nécessitent une approche théorique très élaborée parfois inspirée de celle des rayons X. C’est notamment le cas pour une application courante de cette microscopie : l’étude des défauts cristallins qui jouent un rôle primordial dans les propriétés physiques des matériaux.L’apprentissage dans le domaine de la caractérisation des matériaux nécessite une approche graduelle, qui évolue en fonction des avancées constantes des performances des microscopes.Bien que la MET soit une méthode très sophistiquée, cet ouvrage adopte une approche pragmatique, destinée principalement aux étudiants de master, aux élèves ingénieurs, aux postdoctorants et aux chercheurs non spécialistes de cette technique. Il propose une progression permettant de comprendre les principes et les applications de cette technologie tout en fournissant les bases théoriques nécessaires.Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIChapitre 1 • Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Chapitre 2 • Éléments d’optique électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Le canon à électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 L’optique électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Les lentilles électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Les lentilles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 La trajectoire de l’électron dans l’entrefer d’une lentille magnétique 112.6 Le mouvement de l’électron dans le plan méridien tournant . . . . . . 162.7 La courbure de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.8 La résolution de l’équation différentielle dans le méridien tournant . 172.9 La distance focale d’une lentille magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.10 Les aberrations des systèmes optiques et applications aux lentilles magnétiques ... 202.11 Le pouvoir de résolution des lentilles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 222.12 La comparaison entre lentille magnétique et système optique classique . . . 232.13 Le grandissement permettant la résolution atomique . . . . . . . . . . . . 232.14 La résolution due à l’échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Chapitre 3 • Le microscope électronique en transmission . . . . . . . . . . . . 253.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Le microscope électronique en transmission (MET) . . . . . . . . . . . . . 263.3 La lentille objectif d’un MET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 La longueur de caméra L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Le vide dans la colonne du microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 L’analyse physico-chimique dans un MET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Chapitre 4 • La diffraction des électrons – L’approximation de Born . . . 354.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 La diffusion élastique des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 La diffusion par un atome – Aspect corpusculaire . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 La diffusion par un atome – Aspect ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7 Le cas d’une particule libre (pas de potentiel d’interaction) . . . . . . . 404.8 Le cas d’une particule dans un potentiel V(x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . 414.9 L’équation de Schrödinger indépendante du temps . . . . . . . . . . . . . . 424.10 La résolution de l’équation de Schrödinger par la fonction de Green 434.11 L’approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.12 La relation entre σ(θ, ϕ) et f (θ, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.13 Le calcul de f(θ) : l’effet du noyau et du nuage électronique . . . . . . 484.14 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Chapitre 5 • La théorie dynamique de la diffraction des électrons . . . . . 535.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Le principe du calcul par la méthode optique (diffraction de Fresnel) 545.3 Rappel : cas de la théorie cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Le cas de la théorie dynamique en deux ondes : Ek − Ek0 = Eg . . . . . . . 555.5 Les diffractions élémentaires provoquées par une couche dz à la profondeur z par les deux ondes 8o(z) et 8g (z) . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6 8o(z) diffractée par la tranche dz : calcul de d8oo . . . . . . . . . . . . . . 585.7 8o(z) diffractée par la tranche dz : calcul de d8og . . . . . . . . . . . . . . 655.8 8g (z) diffractée par la tranche dz : calcul de d8gg et d8go . . . . . . . 695.9 L’expression de l’intensité diffractée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Chapitre 6 • Diffraction des électrons par un cristal – Approximation cinématique . ... 736.1 La diffraction des électrons par deux atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 La diffraction des électrons par un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 La diffraction des électrons par un cristal à un atome par maille . . . 776.4 La répartition de l’intensité diffractée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.5 La propriété du vecteur Eg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.6 Le vecteur Eg : réflexion de Bragg et réseau réciproque . . . . . . . . . . . . 816.7 L’intensité diffractée au voisinage de la position de Bragg en conditions cinématiques . . .826.8 La diffraction des électrons par un échantillon mince . . . . . . . . . . . . 856.9 La sphère d’Ewald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.10 Le relâchement des conditions de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.11 La diffraction des électrons par un cristal ayant un motif cristallin . 886.12 L’image d’un cristal parfait : contraste de diffraction . . . . . . . . . . . . . 906.13 L’approximation de la colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.14 L’étude de l’intensité diffractée par une colonne en fonction del’épaisseur t et de l’écart s à la position de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . 936.15 Variations de l’intensité diffractée en fonction de l’épaisseur t . . . . . 946.16 Les variations de l’intensité en fonction de l’inclinaison de l’échantillon . . . . . 976.17 Résumé sur l’image d’un cristal mince parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Chapitre 7 • L’imagerie de défauts cristallins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1 Les contrastes dus à des défauts cristallins par la théorie cinématique 997.2 Le repérage des atomes dans un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3 Les défauts d’empilement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4 Les dislocations dans les solides cristallins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.4.1 Bref rappel sur le concept de dislocation dans un solide . . . . 1067.4.2 Application aux solides cristallins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.4.3 Remarques sur le sens du vecteur Eb et sur le sens de la dislocation EL . . .. 1097.4.4 La détermination du vecteur de Burgers Eb. . . 1097.5 Le contraste provoqué par une dislocation de type vis . . . . . . . . . . . . 1107.6 L’étude du contraste de la dislocation par la construction de Fresnel 1127.7 La formation d’images doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.8 Le contraste d’une dislocation vis inclinée dans une lame mince . . . 1187.9 Les exemples d’expériences en MET sur des dislocations de différents types . . .. . 1207.9.1 Cas 1 : Dislocations partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.9.2 Cas 2 : Dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.9.3 Cas 3 : Super dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.10 Les boucles lacunaires et interstitielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.11 La détermination du vecteur de Burgers d’une dislocation . . . . . . . . 1247.12 Exemple : cas des boucles de dislocations prismatiques . . . . . . . . . . . 1257.13 Le cas de précipités dans une matrice cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.14 Les critères d’extinction et la détermination du vecteur de Burgers d’une dislocation . . . 1277.15 Des exemples de contraste de dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.16 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Chapitre 8 • L’imagerie de défauts cristallins par la méthode du faisceau faible (Weak Beam) 1318.1 Rappel sur le contraste en fonction de l’écart à la position de Bragg Es1318.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.3 Le principe expérimental du contraste en faisceau faible . . . . . . . . . . 1338.4 L’approche qualitative du contraste des dislocations en faisceau faible1348.5 Le principe du faisceau faible dans une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.6 Le contraste en faisceau faible et le diagramme de phase . . . . . . . . . . 1358.7 La position de la colonne donnant le maximum d’intensité : Xm . . 1378.8 Les calculs de l’intensité maximum Imax et du contraste de la dislocation . . . . .. . . 1418.9 Le calcul du contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.10 Le calcul de la largeur de l’image à mi-hauteur 1x . . . . . . . . . . . . . . 1438.11 Exemples de contrastes de dislocations par la méthode du faisceau faible . .. . . 147Chapitre 9 • L’imagerie de réseau : TEM haute résolution . . . . . . . . . . . . 1499.1 Introduction : Imagerie de réseau et Microscopie électronique en transmission haute résolution (METHR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2 La formation de l’image en METHR (Imagerie de réseau) . . . . . . . . 1519.3 Le déphasage instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.3.1 Le déphasage entre faisceaux focalisés et défocalisés . . . . . . . 1529.3.2 Le déphasage dû à l’aberration de sphéricité . . . . . . . . . . . . . 1529.3.3 Le rôle du diaphragme objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3.4 Le rôle des cohérences du faisceau d’électrons . . . . . . . . . . . . 1569.4 La fonction d’onde à la sortie de l’objet - La fonction transparence . 1589.5 Le spectre des fréquences spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.6 Le cas d’un objet de phase pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.7 La fonction d’onde et l’intensité dans le plan image . . . . . . . . . . . . . 1629.8 L’analyse des fréquences spatiales qui sont présentes dans l’image : diffractogramme optique (ou numérique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.9 Le contraste de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.9.1 L’approximation de l’objet de phase : l’ordre de grandeur de l’épaisseur que devrait avoir l’échantillon . . . . . . . . . . . . . 1669.9.2 Le principe du contraste de phase en optique photonique : la comparaison avec la microscopie électronique . . . . . . . . . . 1669.10 L’interprétation des images dans le cas d’un objet de phase . . . . . . . . 1699.11 L’étude de la fonction de transfert (CTF : Contrast Transfer Function) . . . .. 1709.11.1 La défocalisation de Scherzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.11.2 La résolution de Scherzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.11.3 Remarques sur la fonction de transfert (CTF) . . . . . . . . . . . . 1749.12 La mesure de la défocalisation et de la résolution à partir d’un diffractogramme optique ou numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.13 L’abaque de la fonction de transfert généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.14 Exemples d’études réalisées en imagerie de réseau . . . . . . . . . . . . . . . 180Chapitre 10 • Diffusion et diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.1 Le diagramme de Kikuchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.2 Les causes de la diffraction de Kikuchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.3 L’utilité des lignes de Kikuchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18610.3.1 L’orientation et la détermination des plans cristallographiques à partir d’un diagramme de Kikuchi . . . . 18710.3.2 Le vecteur écart à la position de Bragg Es . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.4 La diffraction des électrons en faisceau convergent . . . . . . . . . . . . . . 18910.5 Les franges de Kossel-Möllensted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.6 La mesure de l’épaisseur d’une lame mince par la diffraction en faisceau convergent .. . 19310.7 Les pseudo-lignes de Kikuchi en faisceau convergent . . . . . . . . . . . . 19410.8 Les lignes des zones de Laue supérieures (ZLS) et les variations de paramètre cristallin  19510.9 Le faisceau convergent à grand angle (LACBED) . . . . . . . . . . . . . . . 19610.10 L’expérimentation en faisceau convergent défocalisé (LACBED) . . 197Chapitre 11 • Les analyses physico-chimiques en MET . . . . . . . . . . . . . . . 20111.1 L’émission des rayons X – L’interaction avec la matière . . . . . . . . . . . 20211.1.1 Le rayonnement de freinage (Bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . 20211.1.2 Le rayonnement X caractéristique : la désexcitation radiative 20211.2 La diffusion inélastique à grand angle et contraste en Z (HAADF) . 20311.3 La spectroscopie de pertes d’énergie électronique (EELS) . . . . . . . . . 20411.3.1 Les processus d’interactions inélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.3.2 Un bref rappel sur les interactions collectives électrons-matière . . . . 20511.4 Le spectre de pertes d’énergie électronique (EELS) . . . . . . . . . . . . . . 20611.5 Les détails et structures fines du spectre EELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.6 ELNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.7 Exemples d’études des structures fines ELNES . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.8 EXELF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.9 Comparaison entre pertes d’énergie électronique et absorption des RX . . .. . . 21111.10 Bref rappel de spectrométrie d’absorption des RX : EXAFS et XANES . .. . 21211.11 EXAFS (Extended X ray Absorption Fine Structure ) . . . . . . . . . . . . . 21211.12 XANES (X ray Absorption Near Edge Structure ) . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.12.1 L’instrumentation de l’EELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
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Groupes quantiques

Alain Guichardet

2h02min15

  • Sciences formelles
163 pages. Temps de lecture estimé 2h02min.
Introduits dans les années 80 pour mettre sous une forme mathématique certaines notions de physique théorique, les groupes quantiques ont conquis une place prépondérante au sein des mathématiques grâce à des liens étroits avec de nombreux autres domaines, comme la théorie des noeuds, les fonctions spéciales ou les représentations des groupes finis.
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Les Grandes Lois de l'Univers : De la gravitation aux particules quantiques

Alessandro Roussel

1h44min15

  • Sciences formelles
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139 pages. Temps de lecture estimé 1h44min.
De Galilée à Hawking, en passant par Newton, Schrödinger, ou Einstein, Alessandro Roussel vous invite à un étonnant et fascinant voyage dans le monde des physiciens, à la découverte de l’Univers. Grâce à une approche vivante, accessible et visuelle, le créateur de la chaîne ScienceClic décrypte les grandes théories de la physique moderne : de la relativité générale à la physique quantique. Des plus lointaines galaxies jusqu’au coeur des atomes, vous croiserez des trous noirs, des ondes gravitationnelles, et des particules élémentaires dont les pouvoirs étranges dépassent de loin les hypothèses les plus folles de la science-fiction !COMPRENDRE EN IMAGES LES THÉORIES LES PLUS COMPLEXES DE LA SCIENCE MODERNE AVEC LE CRÉATEUR DE LA CHAÎNE SCIENCECLIC - 40 MILLIONS DE VUES SUR YOUTUBEDiplômé en physique théorique et mathématiques appliquées, Alessandro Roussel est un passionné de sciences et de cinéma. À tout juste 16 ans, il crée l’excellente chaîne YouTube ScienceClic pour découvrir et comprendre les théories scientifiques les plus complexes à la base du Cosmos. Ses vidéos proches du documentaire immersif atteignent des millions de vues. Sa chaîne est aujourd’hui diffusée en trois langues et cumule plus de 800 000 abonnés.]]>
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Illuminations : Cosmos et esthétique

Jean-Pierre LUMINET

4h30min00

  • Sciences formelles
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360 pages. Temps de lecture estimé 4h30min.
« Je me suis toujours intéressé à ce que l’on ne voit pas, à essayer de comprendre l’architecture invisible de l’Univers. J’ai écrit quelque part que ce n’était pas l’Univers tel qu’il est qui m’interpelle, mais tel qu’il pourrait être. » J.-P. L.À l’aide d’une balle de golf ou d’une boule de billard s’enfonçant dans un bas résille, Jean-Pierre Luminet est capable de décrire et de faire comprendre le mécanisme des trous noirs. Il explique comme personne la relativité, la mécanique quantique, le Big Bang, les galaxies, l’univers « chiffonné ». Il aime faire partager ses multiples passions. C’est ce qu’il propose dans ce livre qui couvre tous ses sujets de recherche, de réflexion, d’invention, où il explique la cosmologie moderne, la lumière de l’invisible, où il dévoile les secrets de l’Univers, et où il laisse voir aussi tout son amour de la littérature et de l’art.Auteur notamment de Bonnes Nouvelles des étoiles, spécialiste mondialement reconnu des trous noirs, Jean-Pierre Luminet est directeur de recherches au CNRS et astrophysicien à l’Observatoire de Paris-Meudon. Il a publié une vingtaine d’essais, romans et recueils de poèmes, traduits en une douzaine de langues. Il a reçu en 2007 le Prix européen de la communication scientifique  
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Guide de l'astronome débutant

Vincent Jean Victor

1h22min30

  • Sciences formelles
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110 pages. Temps de lecture estimé 1h22min.
Ce guide d'initiation simple et accessible aborde les notions principales de l'astronomie, donne des pistes pour choisir un instrument en fonction de ce que l'on souhaite observer (objets du système solaire ou ciel profond), de son budget et de son lieu d'habitation (ville ou campagne), et fournit les conseils essentiels pour réussir ses premières observations. Le lecteur apprend ainsi à régler son instrument, se repérer dans le ciel, pointer ce qu'il souhaite observer et le conserver dans son viseur, etc. Pour ceux qui désirent aller plus loin, un dernier chapitre introduit les différentes techniques de l'astrophotographie. Destiné aux néophytes, cet ouvrage facile à lire et très pédagogique accompagnera les premières sorties nocturnes grâce à son format poche. Que voit-on dans le ciel nocturne ? Notions de mécanique céleste Choisir son instrument Les premières observations Quels objets observer ? Aborder l'astrophotographie
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De feu et de glace : Planètes ardentes

André BRAHIC

5h02min15

  • Sciences formelles
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403 pages. Temps de lecture estimé 5h02min.
Un livre exceptionnel qui, à la nouveauté et à la beauté des images, allie l’actualité la plus récente des découvertes scientifiques et le talent du conteur.« Les planètes géantes sont au cœur de notre histoire. Le chemin parcouru en une génération est immense. Les planètes géantes n’étaient pour nos ancêtres que des points de lumière dans le ciel. Elles se révèlent aujourd’hui dans leurs moindres détails : mondes merveilleux, agités d’énormes boules de gaz, embellis par un étonnant ballet d’anneaux et de lunes. En quelques décennies, nous en avons appris plus sur les planètes qu’au cours des quarante siècles qui ont précédé. Mais l’aventure ne fait que commencer. Avec ce livre, je vous invite à un voyage vers des destinations que nos petits-enfants pourront approcher et que leurs arrière-petits-enfants considéreront comme des étapes de l’Aventure humaine. » A. B.
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Analyse continue par ondelettes

Bruno Torrésani

3h09min45

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253 pages. Temps de lecture estimé 3h10min.
Ce livre est une introduction à l'analyse des signaux par la technique des ondelettes, méthode qui permet souvent de faire mieux ressortir les caractéristiques des signaux que la traditionnelle décomposition en série de Fourier. Les premiers chapitres consistent en une introduction aux décompositions de types " temps-fréquence " des fonctions et des signaux, assortie de quelques exemples simples. Des aspects plus spécifiques sont ensuites traités : l'utilisation des ondelettes pour la caractérisation des singularités dans les fonctions et les signaux – avec une brève incursion dans le monde des fractales –, ainsi que l'analyse temps-fréquence proprement dite, etc. Un troisième volet est consacré au problème de discrétisation des représentations temps- fréquence continues. La dernière partie couvre des aspects plus géométriques. L'ouvrage s'adresse aux étudiants en troisième cycle de physique ou de mathématiques – certains points sont abordables dès le deuxième cycle – et aux élèves des écoles d'ingénieurs. Il intéressera aussi les chercheurs et les ingénieurs ayant à résoudre des problèmes d'analyse et de traitement du signal. L'originalité de son approche est de rassembler en une seule étude les aspects géométriques et algorithmiques du sujet. Il fournit certains algorithmes directement applicables.
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Énergie noire, Matière noire

Michel CASSE

2h23min15

  • Sciences formelles
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191 pages. Temps de lecture estimé 2h23min.
Depuis le sol et dans l’espace, nos télescopes scrutent les nues à toutes les longueurs d’onde, visibles et invisibles. Et le tableau du ciel se peint sous notre regard. Toutes ces données d’observation s’accordent avec le modèle du big-bang enrichi d’une inflation cosmologique préalable, une brève période d’expansion accélérée au tout début de l’Univers. Mais pour comprendre ce qui nous est donné à voir, deux formes de gravitation opposées sont requises. La matière noire qui a une vertu attractive, et l’énergie noire qui jouit d’une vertu répulsive. La première a tendance à s’agglutiner, la seconde reste éparse. Michel Cassé nous conte, avec un souffle poétique à nul autre pareil, comment s’éclairent les mystères de la création. Michel Cassé est astrophysicien au Commissariat à l’énergie atomique et chercheur associé à l’Institut d’astrophysique de Paris. Il a publié notamment Petite Étoile, Du vide et de la création et Généalogie de la matière.
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Lumières d'étoiles : Les couleurs de l’invisible

André BRAHIC

3h37min30

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290 pages. Temps de lecture estimé 3h37min.
Des images nouvelles, inouïes, qui font réfléchir. À quoi ressemble l’Univers ? De quoi est-il fait ? Quels objets insolites abrite-t-il ?Des images étonnantes qui invitent à la méditation. Quelle est notre place dans l’Univers ? D’où venons-nous ? Sommes-nous seuls ?Des images extraordinaires qui nous émerveillent. Sous toutes les lumières, le ciel dévoile sa richesse, sa diversité, sa complexité, sa beauté. Au-delà du ciel visible qui n’est qu’une pâle image de la réalité, ce livre nous fait découvrir les couleurs de l’invisible et nous révèle un Univers totalement nouveau. à la vision d’un Monde éternel, immuable, succède l’image d’un Univers changeant, bouillonnant et violent. De quoi complètement bouleverser notre conception du monde. Grâce à ce livre, le lecteur tombera amoureux du ciel. C’est le dessein des auteurs. André Brahic, astrophysicien, est professeur à l’université Paris-VII-Denis-Diderot et au Commissariat à l’énergie atomique. Il est l’un des spécialistes mondiaux de l’étude du système solaire. Découvreur des anneaux de Neptune, il participe actuellement au sein de l’équipe d’imagerie de la sonde Cassini à l’exploration du monde de Saturne. Il est l’auteur de Enfants du Soleil, qui a été un immense succès. Isabelle Grenier, astrophysicienne, est professeur à l’université Paris-VII-Denis-Diderot et au Commissariat à l’énergie atomique. Elle a découvert des nuages de gaz invisible dans la banlieue du Soleil. Elle est responsable de la détection des sources de rayonnement gamma par l’observatoire spatial GLAST de la NASA.
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L'Univers exploré, peu à peu expliqué

Jean-Claude PECKER

3h11min15

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255 pages. Temps de lecture estimé 3h11min.
Jean-Claude Pecker nous fait entrer au cœur de la physique du XXIe siècle. Une histoire qui retrace, des origines à aujourd'hui, trois mille ans de sciences de l’Univers. Une histoire qui court des terrasses de Babylone aux observatoires interplanétaires, des mythes des Anciens au Big Bang des Modernes. Et qui, en passant par les représentations d’Augustin ou de Descartes, embrasse les intuitions de Pythagore, Platon, Aristote, comme les découvertes de Galilée, Newton, Einstein. Alternant la théorie et les exemples, l’illustration, l’équation ou l’anecdote, déchiffrant et expliquant chacun des grands systèmes cosmologiques, ce livre constitue une leçon vivante qui nous fait assister, pas à pas, à l’élaboration de la cosmologie… Avec, pour enseignement, que l’intelligence humaine ne cesse de montrer une extraordinaire continuité face à l’énigme du monde. Jean-Claude Pecker, membre de l’Institut, est professeur honoraire au Collège de France.
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L'Astronomie de l'extrême univers

François Vannucci

1h12min45

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97 pages. Temps de lecture estimé 1h13min.
François Vannucci décrit dans ce livre le paradoxe de la nouvelle physique qui tente l’impossible : fusionner l’infiniment grand des étoiles, des galaxies, des amas et autres nébuleuses, à l’infiniment petit des photons, des protons, des neutrons et autres neutrinos. Il en présente l’enjeu : parvenir, peut-être, à unifier les quatre forces fondamentales qui régissent la matière (interactions forte et faible de l’atome, électromagnétisme du rayonnement et gravitation des corps). Il nous fait entrer dans les coulisses du ciel, là où se joue, dans des conditions extrêmes, la vie des astres, leur naissance et leur mort. Derrière leur incessant ballet sur la scène céleste. François Vannucci est professeur de physique à l’université Paris-VII-Denis-Diderot. Il est l’auteur du Miroir aux neutrinos.
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Y a-t-il un grand architecte dans l’Univers ?

Hawking Stephen

1h19min30

  • Sciences formelles
  • Livre epub
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106 pages. Temps de lecture estimé 1h19min.
Pourquoi et comment l’Univers a-t-il commencé ? Pourquoi y a-t-il quelque chose plutôt que rien ? Quelle est la nature de la réalité ? Comment expliquer que les lois naturelles soient aussi finement ajustées ? Et nous, pourquoi donc existons-nous ?Longtemps réservées aux philosophes et aux théologiens, ces interrogations relèvent désormais aussi de la science. C’est ce que montrent ici avec brio et simplicité Stephen Hawking et Leonard Mlodinow, s’appuyant sur les découvertes et les théories les plus récentes, qui ébranlent nos croyances les plus anciennes. Pour eux, inutile d’imaginer un plan, un dessein, un créateur derrière la nature. La science explique bel et bien à elle seule les mystères de l’Univers. Des réponses nouvelles aux questions les plus élémentaires : lumineux et provocateur ! Le premier ouvrage important de Stephen Hawking depuis dix ans. Célébrissime auteur d’Une brève histoire du temps, de Trous noirs et Bébés univers et de L’Univers dans une coquille de noix, Stephen Hawking est professeur à l’Université de Cambridge. Leonard Mlodinow est physicien au California Institute of Technology.
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La mécanique des fluides

Eric Lauga

2h15min00

  • Sciences formelles
180 pages. Temps de lecture estimé 2h15min.
La mécanique des fluides étudie le comportement des liquides et des gaz en mouvement et au repos. Il s’agit d’un domaine scientifique interdisciplinaire par excellence, allant d’une perspective purement mathématique à une vision plus axée sur les applications pratiques, ou encore adoptant une approche plus physique, centrée sur les mécanismes fondamentaux. Ce livre fait appel à des exemples de la vie quotidienne, des robinets qui goutent aux avions en passant par les canards qui nagent, pour présenter les principes fondamentaux du domaine. L’auteur analyse le rôle du mouvement des fluides dans le monde naturel et industriel, et présente les applications potentielles de la mécanique des fluides pour l’avenir.Préface........................................................ 71. Les fluides......................................... 112. La viscosité....................................... 313. Écoulements de conduite............................................................ 484. Les dimensions............................ 725. Les couches limites................ 976. Les tourbillons............................. 1147. Les instabilités.............................. 1368. La recherche sur les fluideset les écoulements................. 159Lectures supplémentaires...... 166Sources et crédits des illustrations............................................ 168Index. 173
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La géométrie égyptienne

Théophile Obenga

4h12min00

  • Sciences formelles
336 pages. Temps de lecture estimé 4h12min.
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Transitions de phase et groupe de renormalisation

Jean Zinn-Justin

6h23min15

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511 pages. Temps de lecture estimé 6h23min.
Le but de cet ouvrage est de familiariser le lecteur avec un concept, le groupe de renormalisation, qui fournit des outils essentiels pour la compréhension de phénomènes physiques aussi différents que la faiblesse de l'interaction entre quarks à très haute énergie en physique des particules, les comportements singuliers des quantités thermodynamiques dans la théorie des transitions de phase à l'échelle macroscopique, les propriétés statistiques des longues chaînes polymériques ou certaines propriétés des gaz quantiques.Plus généralement, le groupe de renormalisation permet d'expliquer les propriétés universelles de nombre de systèmes physiques ayant un très grand nombre de degrés de liberté locaux. Dans les cas les plus simples, il permet de comprendre l'apparition de lois gaussiennes asymptotiques, comme dans le cas du théorème de la limite centrale des probabilités. Cependant, il est surtout utile dans le cas où les interactions sont fortes et explique alors l'apparition de lois non gaussiennes. Enfin, dans un grand nombre de cas d'intérêt physique, il conduit naturellement à l'introduction de théories statistiques locales des champs (ou théories quantiques des champs en temps imaginaire).
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Géométrie algébrique

Daniel Perrin

3h58min30

  • Sciences formelles
318 pages. Temps de lecture estimé 3h58min.
Ce livre propose une introduction à la géométrie algébrique, notamment à la géométrie projective. Il prend pour point de départ des problèmes classiques, mais non triviaux, qui sont l'occasion d'introduire certains outils essentiels de la géométrie algébrique moderne : dimension, singularité, faisceaux, variétés, cohomologie.  
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Comment être élu à tous les coups ?

Antoine Rolland

1h35min15

  • Sciences formelles
  • Livre epub
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127 pages. Temps de lecture estimé 1h35min.
Aux urnes, citoyens ! Formez vos évaluations !Nous votons mais sans jamais pouvoir choisir la procédure de vote en elle-même. La façon d’élire nos représentants est pourtant capitale : scrutins à la proportionnelle, majoritaire à un ou deux tours... les modes de scrutin sont aujourd’hui l’outil incontournable de nos démocraties représentatives, mais rarement étudiés et encore moins remis en cause. Entre autres faits déconcertants, ce livre est l’occasion de nous rendre compte que le choix du mode de scrutin influe plus souvent que nous l’imaginons sur le vainqueur de l’élection ; un exemple d’élection à cinq candidats, où chacun peut être élu suivant le mode de scrutin choisi, achèvera de nous convaincre de l’importance de cette question.Une surprise en entraînant une autre, nous nous rendrons compte que notre scrutin majoritaire à deux tours est particulièrement imparfait. Il souffre de nombreux défauts, tant au niveau mathématique qu’au niveau politique et sociétal. Après avoir (re)découvert quelques autres modes de scrutin et leurs propriétés, il apparaîtra que ceux basés sur les évaluations des candidats sont plus riches, plus justes, plus dignes de nos sociétés dont la maturité démocratique n’a jamais été si grande.Suivez les auteurs dans une visite guidée du monde fascinant des modes de scrutin et de leurs propriétés et faites-vous, vous aussi, un avis éclairé sur cette question si cruciale pour nos démocraties !Préface.................................................................................................. 9Avant-propos .........................................................................................131 De la démocratie ..............................................................................151.1 Introduction ................................................................................151.2 Vivre et choisir ensemble : une brève histoire de la démocratie .........181.3 La démocratie ici et maintenant : un bilan mitigé............................211.4 Quelques pistes pour la démocratie de demain .................................231.5 Qu’est-ce qu’un mode de scrutin uninominal ?..................................252 Des propriétés des modes de scrutin uninominaux .............................312.1 Des propriétés à vérifier pour un bon mode de scrutin ......................312.2 Unanimité ....................................................................................332.3 Anonymat ....................................................................................342.4 Universalité ................................................................................362.5 Le vainqueur et le perdant de Condorcet ........................................382.6 Monotonie ...................................................................................422.7 Consistance aux rassemblements.....................................................442.8 Incitation à la participation...........................................................472.9 Indépendance vis-à-vis des autres candidats....................................482.10 Synthèse ....................................................................................513 Des modes de scrutins uninominaux classiques et de leurs limites .....553.1 Scrutin majoritaire à un tour (SM1T) ............................................ 573.2 Scrutin majoritaire à deux tours (SM2T) ........................................593.3 Vote par éliminations successives .................................................613.4 Méthode de Bucklin ....................................................................633.5 Scrutin de Borda ........................................................................653.6 Procédure de Nanson ..................................................................683.7 Procédure Minimax .....................................................................703.8 Procédure de Copeland ................................................................733.9 Procédure de Kemeny ..................................................................753.10 Quelle méthode choisir ? ...........................................................783.11 Théorème d’impossibilité d’Arrow ................................................833.12 Paradoxe du vote stratégique .....................................................854 Des modes de scrutin uninominaux par e´valuation .............................894.1 Evaluer plutôt que voter ................................................................894.2 Comment agréger les évaluations obtenues ? ...................................914.3 Le vote à la moyenne (ou range voting) .........................................974.4 Le vote à la médiane (ou jugement majoritaire) ............................ 1034.5 Le vote par approbation .............................................................. 1084.6 Synthèse.................................................................................... 1115 Des modes de scrutins de liste ........................................................ 1155.1 La proportionnelle ...................................................................... 1155.2 La méthode au plus fort reste ...................................................... 1195.3 Les méthodes à la plus forte moyenne........................................... 1225.4 Union ou scission ? .................................................................... 1255.5 Les effets de seuils ..................................................................... 1285.6 La double proportionnelle............................................................ 1295.7 Un indice de pouvoir .................................................................. 1335.8 Les circonscriptions .................................................................... 1375.9 Synthèse.................................................................................... 1456 Conclusion...................................................................................... 1476.1 Que retenir ?.............................................................................. 1476.2 Quelques lectures complémentaires sur le sujet .............................. 1507 Exemples de situations illustrant les propriétés des processus de vote uninominaux............................ 1557.1 Scrutin majoritaire à un tour........................................................ 1557.2 Scrutin majoritaire à deux tours ................................................... 1577.3 Vote par éliminations successives ................................................. 1617.4 Méthode de Bucklin .................................................................... 1617.5 Scrutin de Borda......................................................................... 1657.6 Procédure de Nanson................................................................... 1677.7 Procédure Minimax...................................................................... 1717.8 Procédure de Copeland ................................................................ 1757.9 Procédure de Kemeny .................................................................. 1777.10 Le vote par approbation............................................................. 1797.11 Le vote à la moyenne (ou range voting) ...................................... 1807.12 Le vote à la médiane (ou jugement majoritaire) ........................... 1807.13 Eléments de la preuve mathématique du théorème d’Arrow ............182Remerciements .................................................................................. 185
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Affiche du document Théorie des graphes et applications, avec exercices et problèmes (Collection Informatique)

Théorie des graphes et applications, avec exercices et problèmes (Collection Informatique)

Jean-Claude Fournier

3h37min30

  • Sciences formelles
290 pages. Temps de lecture estimé 3h37min.
Cet ouvrage, à la fois pédagogique et complet, présente l'étude des principaux aspects de la théorie des graphes et de ses applications, en particulier celles relevant de l'optimisation combinatoire. Il expose ainsi en détail des sujets significatifs associés, tels, par exemple, le problème de l'emploi du temps avec les colorations, l'affectation optimale avec les couplages, le ""voyageur de commerce"" avec les cycles hamiltoniens, etc. Des exercices de tous niveaux accompagnent les chapitres, des problèmes généraux sont proposés à la fin. Deux annexes peuvent utilement aider le lecteur sur les algorithmes, en particulier pour une introduction au délicat sujet de la complexité algorithmique.Introduction. Généralités. Arbres. Colorations. Graphes orientés. Recherche arborescente. Chemins optimaux. Couplages. Flots. Tournées eulériennes. Tournées hamiltoniennes. Représentations planes. Problèmes commentés. Annexe 1. Expression des algorithmes. Annexe 2. Bases de la théorie de la complexité. Bibliographie. Index.
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Histoires de sciences

Claude Brezinski

3h29min15

  • Sciences formelles
  • Livre epub
279 pages. Temps de lecture estimé 3h29min.
Comment fait-on de la recherche scientifique ? Comment les idées viennent-elles aux chercheurs ? Il faut croire à l'intuition, à l'analogie, au hasard, à l'accident, à la chance et même à l'erreur, facteurs qui interviennent tous dans chaque découverte scientifique. En s'appuyant sur des témoignages, ce livre cherche à faire comprendre ce qu'est la créativité et à faire saisir comment se construit la connaissance scientifique. Les circonstances et les hasards qui ont pu orienter les travaux des scientifiques sont mis en lumière dans les biographies de la seconde partie de l'ouvrage.
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Le logiciel R

Pierre Lafaye De Micheaux

8h57min45

  • Sciences formelles
717 pages. Temps de lecture estimé 8h58min.
Ce livre est consacré à un outil désormais incontournable pour l’analyse de données, l’élaboration de graphiques et le calcul statistique : le logiciel R. Après avoir introduit les principaux concepts permettant une utilisation sereine de cet environnement informatique (organisation des données, importation et exportation, accès à la documentation, représentations graphiques, programmation, maintenance, etc.), les auteurs de cet ouvrage détaillent l'ensemble des manipulations permettant la manipulation avec R d'un très grand nombre de méthodes et de notions statistiques : simulation de variables aléatoires, intervalles de confiance, tests d'hypothèses, valeur-p, bootstrap, régression linéaire, ANOVA (y compris répétées), et d'autres encore. Écrit avec un grand souci de pédagogie et clarté, agrémenté de nombreux exercices et travaux pratiques, ce livre accompagnera idéalement tous les utilisateurs de R- et ceci sur les environnements Windows, Macintosh ou Linux - qu'ils soient débutants ou d'un niveau avancé.Avant-propos.- Sommaire.- Table des figures.- Liste des tableaux.- Notations mathématiques.- A. Présentation du logiciel R.- B. Quelques jeux de données et problématiques.- Partie I – Les bases du logiciel R.- 1. Les concepts de base, l’organisation des données 2. Importation-exportation et production de données 3. Manipulation de données 4. R et sa documentation 5. Techniques pour tracer des courbes et des graphiques 6. Programmation en R 7. Maintenance des sessions.-Partie II – Mathématiques et statistiques élémentaires 8. Mathématiques de base : calcul matriciel, intégration, optimisation 9. Statistique descriptive 10. Variables aléatoires, lois et simulations 11. Intervalles de confiance et tests d’hypothèses 12. Régression linéaire simple et multiple 13. Analyse de variance élémentaire.- Annexes
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Affiche du document Les Systèmes complexes

Les Systèmes complexes

Hervé P. Zwirn

1h12min45

  • Sciences formelles
  • Livre epub
  • Livre lcp
97 pages. Temps de lecture estimé 1h13min.
Comment les oiseaux coordonnent-ils leurs vols au long cours ? Comment nos milliards de neurones se connectent-ils pour fabriquer notre personnalité ? Pourquoi des espèces animales restent-elles stables pendant des millénaires avant de se transformer en un instant ? Pourquoi l’Union soviétique a-t-elle pu s’effondrer en quelques mois après avoir dominé l’Europe pendant plus d’un demi-siècle ?Qu’est-ce qui différencie un système complexe d’un système simple ? Comment peut-on étudier un système sans le réduire à ses constituants ? Comment peut-on décrire son fonctionnement s’il est chaotique ?Dans cette introduction qui fourmille d’exemples concrets, Hervé Zwirn décrit les mathématiques des systèmes complexes dans la vie et la société. Hervé Zwirn, polytechnicien, est directeur de recherche associé au laboratoire de mathématiques appliquées de l’École normale supérieure de Cachan et président de la société de conseil aux entreprises Eurobios.
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Mathématiques supérieures

Alexander Gewirtz

6h24min00

  • Sciences formelles
512 pages. Temps de lecture estimé 6h24min.
 L’objectif de ce second tome est de consolider et d’approfondir les connaissances fondamentales en algèbre linéaire (théorie de la dimension et des matrices) et multilinéaire (déterminants et produits scalaires), en analyse (dérivation et développements limités, intégration, fonctions convexes, séries réelles). Il a aussi pour but d’initier le lecteur à la théorie « abstraite » des probabilités (discrètes ici) et de le sensibiliser aux problèmes de permutation de limite (abordé ici dans le cadre des séries « doubles »). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s’inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l’idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s’appliquer pour des questions d’analyse et réciproquement.Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l’IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d’ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants. Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d’applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d’exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d’approfondir leurs connaissances en mathématiques.Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l’institut franco-chinois de l’énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine.Chapitre 1 Dérivation et développements limités 81.1 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Interprétations graphique et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Développement limité d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz . . . .. . . . . . . . . . . . . . 221.3 ´Etude globale des fonctions d´dérivables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.1 Caractérisation des extrema locaux . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 281.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 291.3.3 Égalité et inégalité desaccroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.4 Application auxvariations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .. . . 391.3.5 Applications auxsuites récurrentes de la forme un+1 = f(un) . . . . . . . 421.3.6 Théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 431.4 Définition et propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.5 Opérations sur les développementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.2 Inverse . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.5.3 Intégration et dérivation d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.6 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.6.1 Formule deTaylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange . . . 551.6.2 Formule deTaylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.6.3 Formule (ou égalité) deTaylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.6.4 Application auxfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.7 Applications des développements limités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.7.1 ´Etude des limites ou recherche d’équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.7.2 ´Etude de position d’unecourbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . 651.7.3 Développement asymptotique et ´étude de position par rapport `a uneasymptote . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.7.4 Recherche d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 661.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . 671.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Table des matièresChapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie772.1 Familles devecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.1 Famille libre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 862.1.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 882.1.4 Caractérisation d’une application linéaires par l’image d’une base . . . . . 922.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 962.2.1 D´définition et exemples . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 962.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète . . . . . . . . . . . . 962.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisationdes bases . . . . . . . . 1012.3 Propriétés de la dimension . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe . . . . . . . . . 1072.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1092.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1112.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentairespar les bases . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1152.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.4.1 Définition du rang d’uneapplication linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.4.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 1192.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des ´éléments inversibles de L(E) .. 1222.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension . . 129Chapitre 3 Matrices 1313.1 Définition d’une matrice . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2 opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.2.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1333.2.2 Base canoniquede Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.2.3 Produitmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2.4 Transposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1403.3.1 Algèbre Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1403.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) .. . . . . . . . . . . . . . 1423.3.3 Sous-ensemblesremarquables de Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.3.3.a Matricesdiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.3.3.b Matricestriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3.3.c Matrices symétriques et antisymétriques. . . . . . . . . . . . . . 1503.4 Matrices etapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1513.4.1 Définition de la matrice d’uneapplication linéaires relativement `a deux bases …1513.4.2 Propriétés ´élémentaires des matrices d’applicationslinéaires . . . . . . . . 1553.4.3 Isomorphismecanonique de L(Kp,Kn)sur Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . 1573.4.4 Cas des formes linéaires : ´équations cartésiennes d’un hyperplan . .. . . 1613.5 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1623.5.1 Définition et isomorphisme de L(E)sur Mn(K) .. . . . . . . . . . . . . 1623.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base . . . . . . . .. . . . 1683.5.3 Matrice depassage et changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.6 Rang d’une matrice et opérations ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1733.6.1 Définition du rang d’unematrice et première caractérisation . . . .. . . . 1733.6.2 opérations ´élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) . . . .. . . . . . . 1763.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’unematrice (oul’inversed’une matrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1823.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace d’une matrice carrée . . . . . 1913.7.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1913.7.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . 1933.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Chapitre 4 Intégration des fonctions d’unevariable réelle 2034.1 Intégration sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.1.1 Fonction enescalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.1.2 Intégrale sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 2074.1.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2094.1.3.a Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2094.1.3.b Monotonie . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.1.3.c Relation deChasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.2 Intégrale sur un segment d’unefonction continue par morceaux . . . . . . . . . . 2114.2.1 Fonctionscontinues par morceaux et approximation uniforme par desfonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonctioncontinue par morceaux . . . . . . . 2144.2.3 Extension auxfonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.2.4 Linéarité ,monotonie et relation de Chasles . . . . .. . . . . . . . . . . . 2164.2.5 Valeur moyenneet inégalité de la moyenne .. . . . . . . . . . . . . . . . 2224.2.6 Cas desfonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a,b] ,R) etinégalité deCauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.3 Approximation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2274.3.1 Sommes deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale . . . . . . . . . . . . 2314.3.3 Méthodes des trapèzes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.4 Intégration et dérivation . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.4.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2384.4.2 Fonctioncontinue par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 2394.4.3 Intégrale de la borne supérieureet théorème fondamental . . . . . . . . . 2404.5 Calcul d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2434.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2434.5.2 Changement devariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.5.3 Cas desfonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.5.4 Fonctionsrationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.5.5 Autres exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.6 Intégrale généralisée sur unintervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.6.1 Définition de la convergence d’uneintégrale généralisée . . . . . . .. . . 2554.6.2 Propriétés ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2604.6.3 Cas particulierdes fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.6.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2644.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives . .. . . . . . . . . . . 2674.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lienavec la convergence2704.6.7 Bilan sur les méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2734.6.8 Extension auxfonctions continues sur un intervalle sauf en un nombrefini de points . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2814.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2834.8 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.8.1 Démonstration du théorème d’approximation . . . .. . . . . . . . . . . . 2904.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann . . . . . . . . . .. . . . . . . . 292Chapitre 5 Séries numériques 2945.1 Généralités sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2955.1.1 Définitions et vocabulaire des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.1.2 Convergence,divergence, divergence grossière et convergence absolue . . . 2965.1.3 Opérations sur les sériesconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2995.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.2.1 Convergence,divergence et comparaison des termes généraux . . . . . . . 3005.2.2 Comparaison série-intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.2.3 Séries positives de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3125.2.4 Critère de d’Alembert . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.3 Séries réelles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 3175.3.2 Critère spécial pour les séries alternées . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3185.3.3 Séries et sommes réelles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3225.3.4 Bilan des méthodes d’étude des séries réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.4 Séries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3295.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 3295.4.2 Séries complexes de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3305.5 Familles sommableset théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3315.5.1 Notion de dénombrabilité . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3315.5.2 Famillessommables de nombres réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . .3375.5.3 Séries doubles `a termes positifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3415.5.4 Famillessommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3475.5.5 Séries doubles complexes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3515.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3615.7 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3665.7.1 Transformation d’Abel et critère pour les sériestrigonométriques . . . . . 3665.7.2 Théorème d’associativité pour les familles sommables . . . . . . . . . . .371Chapitre 6 Probabilités discrètes 3756.1 Notion de tribu etdéfinition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3766.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales . . . . . . 3836.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3856.4 Indépendance d’évènements ou de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 3886.5 Définition d’une probabilité discrète . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3906.6 Variables aléatoires discrètes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3926.7 Espérance, variance et moments . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3966.8 Inégalités de Markov etde Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4046.9 Sommes devariables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes . . . . . . . . 4056.10 Calculs d’espérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes . 4076.11 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409Chapitre 7 Fonctions convexes 4137.1 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4147.1.1 D´définition et interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4147.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes . . . . . . . . . . . 4167.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est d´erivable . . . .. . . . . . . 4187.1.4 Régularité des fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4207.2 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4217.2.1 Inégalité généralisée de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4217.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique . . . . . . . . . . . . 4237.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires 4258.1 Définition du déterminant . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4268.1.1 Formes n-linéaires, formes alternéeset antisymétriques . . . . . . . . . . . 4268.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimensionde l’espaceΛn(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4298.1.3 Définition du déterminant dansune base B et propriétés élémentaires . . 4318.1.4 Caractérisation des bases de E parle d´déterminant . . . . . . . . . . . . . 4328.2 Déterminant d’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4338.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4338.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes . . . . . . 4358.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4368.3.1 Définition et propriétés « simples » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4368.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . 4398.3.3 opérations ´élémentaires sur les lignes ou colonnes . . . . . . .. . . . . . 4408.3.4 Cas particulier: cas des matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 4418.3.5 Lien avec le déterminant de l’application linéaires associée et conséquences 4428.4 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4448.4.1 Définitions et structure des solutions . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4448.4.2 Rang d’un système linéaires etdimension de l’espace homogène associé . . 4458.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer . . . . . . . .. . . . 4458.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système . . . . . . .. . . . 4498.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453Chapitre 9 Espaces euclidiens 4569.1 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4579.1.1 Définition d’un produitscalaire et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 4579.1.2 Inégalité deCauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée . . . 4619.1.3 Propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4639.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4649.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4649.2.2 Propriétés des familles orthogonales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4679.3 Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4699.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4699.3.2 Orthogonal d’une partie et existence de bases orthonormées . . . . . . . . 4699.3.3 Projecteursorthogonaux et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . .4739.3.4 Procède d’orthonormalisassionsde Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4779.3.5 Isomorphismenaturel entre E et son dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4809.4 Automorphismesorthogonaux d’un espace euclidien . . . . . . . . . . .. . . . . 4819.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4819.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux . . . . .. . . . . . . . 4839.4.3 Matricesorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4859.5 Automorphismesorthogonaux du plan et étude des groupes O2(R) etSO2(R) .. 4919.5.1 ´Etude des groupes O2(R) et SO2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919.5.2 Rotations duplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4939.5.3 Réflexions et décomposition d’une rotation en produit de deux réflexions . 4949.6 Automorphismesorthogonaux de l’espace et étude du groupe O3(R) . . . . . . . 4979.6.1 Etude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4979.6.2 Etude pratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5049.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
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Physique de la conversion d'énergie

Jean-Marcel Rax

4h21min00

  • Sciences formelles
348 pages. Temps de lecture estimé 4h21min.
Cet ouvrage fait partie de la 28e Sélection du PRIX ROBERVAL, catégorie Enseignement Supérieur.Les gradients des variables thermodynamiques intensives, potentiels mécanique et électrique, pression, température et potentiel chimique, constituent des écarts à l’équilibre thermodynamique permettant d’extraire du travail de notre environnement. Les processus de conversion d’énergie utilisant ces sources d’énergies libres sont accompagnés d’une production d’entropie qui dégrade l’efficacité de conversion.Cet ouvrage de Physique de la conversion d’énergie est issu de plusieurs cours enseignés en France et à l’étranger, principalement en M1 et M2 à la Faculté des sciences d’Orsay et à l’École Polytechnique. Il est articulé autour de deux axes principaux :• l’étude des concepts et méthodes de la physique des processus irréversibles, orientée vers l’identification et l’analyse des mécanismes de production d’entropie ;• la description et l’analyse physique des principes et limitations des générateurs magnétohydrodynamiques, thermoélectriques, thermoïoniques, photovoltaïques et électrochimiques.Ce livre vise à offrir aux étudiants de nos facultés, aux élèves de nos écoles et aux chercheurs de nos instituts, une monographie permettant d’aborder les questions de l’efficacité et du rendement des systèmes de conversion d’énergie dans la continuité des cursus de physique appliquée, de physique fondamentale, ou d’ingénierie généraliste, aux niveaux M1-M2-D.
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Parlez-vous maths ?

Agnès Rigny

2h42min45

  • Sciences formelles
217 pages. Temps de lecture estimé 2h43min.
Ce livre n’est pas un livre de mathématiques. Pourtant il « parle » mathématiques ! Écrit par deux professeurs de mathématiques confrontés aux difficultés rencontrées par leurs étudiants, leur réflexion et leur recherche les ont amenés à écrire ce dictionnaire « français-maths ». Depuis plusieurs années, l’enseignement des mathématiques est basé sur un apprentissage du vocabulaire mathématique en dehors de tout cadre structuré. Par exemple, la notion de limite est enseignée par une approche expérimentale à l’aide d’une calculatrice ou d’un ordinateur, mais sans la définition. Le langage mathématique est enseigné comme un langage naturel. Le sens des mots est censé émerger de l’expérience. Cependant, cela ne se passe pas ainsi en mathématiques. Les auteurs ont développé un point de vue original en abordant les conflits de langage entre les mathématiques et le français qui utilisent souvent les mêmes mots. Volontairement ludique, ce livre s’adresse à un large public. Il ne nécessite pas de grandes connaissances mathématiques, et peut se lire à plusieurs niveaux. Les élèves ou étudiants, anciens ou actuels, les parents et les professeurs y trouveront chacun de quoi alimenter leur réflexion sur cette matière injustement décriée par incompréhension.Revue de presse :Emission Continent Sciences, France Culture, par Stéphane Deligeorges : lundi 19/01/2015
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Calcul différentiel et équations différentielles

Jean-Baptiste HIRIART-URRUTY

3h00min45

  • Sciences formelles
241 pages. Temps de lecture estimé 3h1min.
Exercices originaux accompagnés par leurs corrigés, cet ouvrage s'adresse principalement aux étudiants de licence de Mathématiques (L3), et principalement du module d'enseignement "Calcul différentiel-Equations différentielles". Ce livre scientifique pourra également être utile aux éléves ingénieurs et aux étudiants préparant des masters ou des concours de recrutements (Capes, Agrégations). Il s'agit d'une recueil de 36 devoirs, au sens premier de vocable, c'est à dire de travaux à effectuer, en temps limité ou chez soi, seul ou à plusieurs. La durée estimée moyenne est de 3 heures pour chaque devoir, lequel comporte généralement deux ou trois exercices indépendants. La plupart des problèmes et exercices proposés sont originaux, ils ont été posés durant les dernières années dans plusieurs universités, sous forme d'examens intermédiaires ou terminaux en temps limité ou à rendre rédigés après y avoir travailler chez soi. Les thèmes traités suivent globalement le déroulement d'un programme standard de module " Calcul différentiel-Equations différentielles", avec au fur et à mesure de l'avancée dans le livre, un retour sur les chapitres passés: une progression en spirale plutôt linéaire.
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Inversion

Jean-Pierre Boudine

3h14min15

  • Sciences formelles
259 pages. Temps de lecture estimé 3h14min.
On trouve assez peu de géométrie dans l’enseignement des mathématiques à la fin du collège et au lycée. Dommage pour ceux qui apprécient la beauté des figures et la pureté des raisonnements ! Depuis longtemps, l’Inversion a disparu des programmes, tout comme les coniques et la géométrie projective. Aujourd’hui, il est difficile d’affirmer que tout bachelier scientifique saurait prouver clairement que par trois points non alignés il passe toujours un cercle (et un seul). Il y a dorénavant une « Cause de la Géométrie » à défendre ! C’est dans un club de maths qu’il est possible de le faire, sans modération. Cet ouvrage se veut un outil au service de ceux qui souhaitent mieux comprendre et pratiquer ce domaine particulier des mathématiques, au sein d’un club… ou en solo ! Les amateurs de géométrie le savent bien : outre le plaisir intellectuel de trouver les solutions, c’est tout un univers d’harmonie et d’équilibre qui se déploie, dès lors que l’on aborde ces problèmes. Introduction 71 Birapport 111.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .112 Puissance 352.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .353 Polaire 573.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .574 Pinceaux de cercles 694.1 Définitions, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .695 L’inversion 915.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . .925.2 Images des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . .965.3 Exercices.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1285.4 Exercices.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1576 Pages 1896.1 Théorème de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . 1896.2 L’affaire des tangentes . . . . . . . . . . . . . . . .1977 Études 2037.1 Écart inversif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2037.2 Porisme de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . .218A L’invariant anallagmatique 225B Le cercle de similitude 235C RÉSU 245Bibliographie 253
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Calcul intégral

Jacques Faraut

2h36min00

  • Sciences formelles
208 pages. Temps de lecture estimé 2h36min.
Ce livre s'adresse aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L3-M1) et à ceux qui préparent le Capes ou l'agrégation. Il présente d'abord la mesure et l'intégrale de Lebesgue, dans un cadre général, puis de façon approfondie sur la droite réelle et dans l'espace. Il s'oriente ensuite vers l'analyse. Un chapitre est consacré à l'étude des fonctions définies par une intégrale, et les trois suivants ont pour objet l'analyse de Fourier sur la droite et le cercle. Ce livre s'achève sur sept questions illustrant l'utilisation du calcul intégral en analyse et en calcul des probabilités. Chaque chapitre est suivi de nombreux exercices.
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Photons et atomes

Gilbert Grynberg

6h10min30

  • Sciences formelles
494 pages. Temps de lecture estimé 6h10min.
L'objectif : donner au lecteur des bases solides sur la description quantique du champ électromagnétique, pour aborder efficacement l'étude des processus d'interaction entre atomes et photons tels qu'ils apparaissent en physique atomique et moléculaire, en optique quantique et en physique des lasers.  
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Mathématiques supérieures

Alexander Gewirtz

5h42min00

  • Sciences formelles
456 pages. Temps de lecture estimé 5h42min.
 L’objectif de ce premier tome est d’introduire tous les fondements d’algèbre (les structures), d’algèbre linéaire (les espaces vectoriels et applications linéaires) et d’analyse (les concepts de limite en particulier pour les suites ou les fonctions). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s’inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l’idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s’appliquer pour des questions d’analyse et réciproquement. Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l’IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d’ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants. Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d’applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d’exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d’approfondir leurs connaissances en mathématiques.Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l’institut franco-chinois de l’énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine.Chapitre 1 Groupes, anneaux et corps 71.1 Groupes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.1 Loi decomposition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Sous-groupes . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Opérations sur les sous-groupes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 201.1.5 Morphismes degroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Anneaux et corps .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 281.2.2 Sous-anneaux etsous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.3 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 321.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps . . . .. . . . . . . . 361.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Chapitre 2 Relations, ensembles N, Z, Q et R 472.1 Relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.1 Généralités sur lesrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.1.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 502.1.2.a Ordre total etordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.1.2.b Majorant,minorant, plus grand et plus petit élément . . . 532.1.2.c Borne supérieure et borne inférieure. . . . . . . . . . . . 562.1.2.d Applicationscroissantes, d´ecroissantes et monotones . . . 582.1.3 Relation d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 602.2 Ensemble N et principe de récurrence . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.1 D´définition de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 612.2.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 622.2.2.a Récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 622.2.2.b Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 652.2.2.c Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 662.2.2.d récurrence finie et récurrencedescendante . . . . . . . . . 672.3 Ensemble Z et valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 692.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.2 Valeur absoluedans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 712.4 Ensembles desnombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 712.4.1 Corps desnombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4.2 Corps desnombres réels et relation d’ordre . .. . . . . . . . . . . . 722.4.3 Valeur absolue .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure . . . . . 752.4.5 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 792.4.6 Caractérisation des intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4.7 Droite numérique achevée . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.8 Densité de Q etde R \ Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.9 Valeurs d´décimales approchées d’un nombre réel . . . . . . . . . . . 872.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.6.1 Construction de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 962.6.2 Ensembles finiset d´encombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1052.6.2.a Définitions et théorème fondamental . . . . . . . . . . . . 1052.6.2.b Parties de N et parties d’un ensemblefini . . . . . . . . . 1092.6.2.c Critère de bijection pour les ensembles finis . . . . .. . . 1142.6.2.d Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1172.6.2.e Cardinal d’une réunion et du complémentaire d’une partie 1172.6.2.f Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1172.6.2.g Ensemble desapplications de E vers F . . . . . . . . . . . 1182.6.2.h Cardinal de P(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.6.2.i Arrangements,nombres d’injections et nombres de bijectionsd’unensemble dans lui-même . . . . . . . . . . . . . 1212.6.2.j Combinaisonset coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . 1232.6.2.k Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . .. . . . 124Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes1253.1 Suites de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1263.1.1 Généralités . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.1.2 Operations surles suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.1.3 Suites extraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.2 Suites d´définies par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2.1 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.2.2 Notations Σ et Π . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1373.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 `a coefficients constants . . . . 1423.3 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1503.3.1 Convergence versun réel : définition et propriétés . . . . . . . . . 1503.3.2 Convergence etsigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.3.3 Divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1553.3.3.a Divergencevers +∞ ou vers −∞ . .. . . . . . . . . . . . 1563.3.3.b Autres modesde divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.3.4 Operations surles suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583 Mathématiques supérieures 1 3.3.4.a Espacevectoriel des suites convergeant vers 0 . . . . . . . 1583.3.4.b Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . 1603.3.5 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre . . . . 1643.3.6 Convergence etsuites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.3.7 Caractérisation de la densité parles suites . . . . . . . . . . . . . . 1733.4 Théorèmes d’existence delimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone. . . . . . . . 1743.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux s´séries à termespositifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments emboités 1873.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1903.5 Relations de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923.5.1 Suites dominées ou négligeables parrapport à une autre . . . . . . 1923.5.2 Suites ´équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1933.5.3 Comparaison dessuites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . .1983.5.4 Développement asymptotique d’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . 1993.6 Suites `a valeurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.6.1 Définitions et convergence d’unesuite complexe . . . . . . . . . . . 2023.6.2 Lien avec lesparties réelle et imaginaire . . . . . . . . . . . . . . .2043.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires2154.1 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.1.1 Définition et exemples usuels . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2164.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . .. . . . . . . . . 2194.1.3 Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.2 Operations sur lesespaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.2.1 Intersection etsous-espace engendre par une partie . . . . . . . . . 2254.2.2 Somme desous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.2.3 Sommes directeset sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . 2364.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . .. . . 2414.3 Sous-espacesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2434.3.1 Translations etgroupes des translations d’un espace vectoriel . . . .2434.3.2 Définition d’un sous-espaceaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.3.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2474.3.4 Intersection dedeux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . 2484.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2494.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2494.4.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . .. . . . . . . . . 2534.4.3 ´Equations linéaires . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584.4.4 Ensembles desapplications linéaires L(E,F) . . . . . . . . . . . . . 2594.4.5 Isomorphismes,automorphismes et groupe linéaires . . . . . . . . . . 2634.4.6 Restriction etrecollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires . . . . . . . . . 2684.4.8 ´Etude d’applications linéaires remarquables . . . . . . . . . . . . . 2714.4.8.a Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2714.4.8.b Projecteurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.4.8.c Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2764.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Chapitre 5 Arithmétique dans Z 2875.1 Arithmétique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2885.1.1 Diviseurs etcongruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2885.1.2 Nombres premierset décomposition en produit de facteurs premiers 2915.1.3 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2945.1.4 Sous-groupes de(Z,+) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2955.1.5 Plus grandcommun diviseur et plus petit commun multiple . . . . 2965.1.6 Théorème de Bézout etalgorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . 2985.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss . .. . . . . . . . . . . . . . 3025.2 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.3 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3105.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3105.3.2 Corps Z/pZ et ´élémentsinversibles de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . 312Chapitre 6 Fonctions r´eelles ou complexes d’unevariable réelle 3136.1 Généralités sur lesfonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 3146.1.1 Ensemble F(I,K)et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .3146.1.2 Ensemble B(I,K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3156.1.3 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3176.1.4 Fonctions paireset fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 3186.1.5 Fonctionslipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3206.1.6 Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3226.2 ´Etude locale d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3236.2.1 Voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3236.2.2 Limite d’une fonction en un point et continuité en un point . . . . . 3256.2.3 Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . .. . . 3356.2.4 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre dans R 3416.2.5 Composition delimites et caractérisation séquentiellede la limite . 3486.2.6 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3536.3 Relations decomparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3566.3.1 Fonctions dominées et fonctions négligeablespar rapport `a une autreau voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3566.3.2 Comparaison desfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636.3.3 Fonctions équivalentes en un point . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3646.3.4 Equivalentsusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3686.4 Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3726.4.1 Définition et premi7res propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.4.2 Composée de deux fonctions continues . . . . . . . . . . .. . . . . 3746.4.3 Restriction et caractère « local » de la continuité . . . . . . . .. . . 3756.4.4 Prolongement parcontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3766.4.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 3786.4.6 Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . .3816.4.7 Continuité de la bijection réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . 3836.4.8 Continuité uniforme et théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . 3846.5 Bilan sur les différences entre fonctions `a valeurs réelles ou complexes . . . 3896.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Chapitre 7 Polynômes et fractions rationnelles 3967.1 Ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3977.1.1 Algèbres et morphisme d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3977.1.2 Définition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4017.1.3 Operationsusuelles sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.1.4 Dérivation sur l’ensemble despolynômes . . . . . . . . . . . . . . . 4097.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4127.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4127.2.2 Propriétés du degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4137.2.3 Conséquences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4147.3 Arithmétique dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4157.3.1 Divisibilité dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4157.3.2 Divisioneuclidienne dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4197.3.3 Idéaux de K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4237.3.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4257.3.5 Théorème de Bézout et théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 4277.4 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4297.4.1 Fonctionpolynomiale associée à un polynôme . . . . . . . . . . . . 4297.4.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4307.4.3 Formule deTaylor et multiplicité d’une racine . . .. . . . . . . . . 4327.4.4 Méthodes pour montrer que deux polynômes sont égaux . . . . . .4367.4.5 Polynômes scindes et relations entre racines etcoefficients . . . . . 4377.5 Polynômes irréductibles etfactorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4397.5.1 ´Eléments irréductibles dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4407.5.2 ´Eléments irréductibles dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4417.6 Ensemble K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4427.6.1 Corps desfractions rationnelles K(X) .. . . . . . . . . . . . . . . . 4427.6.2 Dérivation et degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4437.6.3 Zéros et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 4457.6.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .4467.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
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Galois inverse avec polynômes

Bernard Sourd

2h45min45

  • Sciences formelles
221 pages. Temps de lecture estimé 2h46min.
Arithmétique modulaire et nombres premiersCet ouvrage utilise deux thèmes : la théorie de Galois et l'arithmétique modulaire. Pour qu'un lecteur non suffisamment familiarisé avec ceux-ci puisse aborder les sujets traités sans difficultés majeures, les bases sont présentées de façon approfondie avec exercices et problèmes.Le problème dit de Galois inverse est alors présenté. Il utilise des polynômes, dit de Galois, formant pour la composition le groupe de Galois. Une approche constructive est proposée ; elle ramène l'étude à la résolution d'un système polynomial à l'aide de fonctions symétriques fondamentales.Dans une deuxième partie est introduite l'extension algébrique du crible d'Ératosthène. Les nombres premiers y jouent un rôle capital et diverses propriétés ainsi que des algorithmes sont présentés. Avec toutes les solutions aux exercices et problèmes en fin d'ouvrage.L'auteur : Ancien élève de l'ENS Cachan, Bernard SOURD a enseigné en CPGE. Il est agrégé de Mathématiques et professeur de Chaire Supérieure.
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Intégrales singulières

Frédéric PHAM

2h59min15

  • Sciences formelles
239 pages. Temps de lecture estimé 2h59min.
Cet ouvrage propose une réédition de deux textes fondamentaux de Frédéric Pham consacrés aux intégrales singulières. Le premier texte insiste sur les aspects topologiques et géométriques tandis que le second en explique l'approche analytique. Frédéric Pham s'appuie sur les notions développées par J. Leray dans son calcul des résidus à plusieurs variables et sur les théorèmes d'isotopie de R. Thom. Avec l'aboutissement que constituent les formules de Picard-Lefschetz, cette étude fondamentale des singularités d'intégrales se situe aux confins de l'analyse et de la géométrie algébrique. Les mêmes structures, enrichies par les travaux de Nilsson, sont aussi abordées par des méthodes d'équations différentielles et généralisées sous l'angle de la théorie des hyperfonctions et de l'analyse microlocale. La première partie a été publiée en 1967 dans la série Mémorial des Sciences Mathématiques. La seconde partie est, quant à elle, issue d'un cours donné à l'université d'Hanoï en 1974.
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